Мне вдруг стало интересно: тот кварц что стоит на Uno и тактовая частота контроллера как относятся друг к другу?
Именно так. Но тактовая может генерироваться и без кварца, внутренней или внешней RC-цепочкой. Т.е. в простейшем случае контроллер заведется и без кварца, нужно только питание подать и правильно сконфигурировать фьюзы при прошивке (задать способ тактирования).
А еще вопрос : если я вот например использовал плату Arduino, залил скетч а потом вынул и просто использовал ее отдельно. Мне надо отдельно ставить кварц?
Если контроллер настроен на работу с внешним кварцем (а в ардуино так и есть), то надо. Но можно и без кварца. Все зависит от Вас - как настроите, так и будет работать.